Problema de Basilea

El Problema de Basilea es un famoso problema de teoría de números, planteado por primera vez por Pietro Mengoli, y resuelto por Leonhard Euler en 1735. Puesto que el problema había resistido los ataques de los matemáticos más importantes de la época, la solución llevó a Euler rápidamente a la fama cuando tenía veintiocho años. Euler generalizó el problema considerablemente, y sus ideas fueron tomadas años después por Bernhard Riemann en su artículo de 1859 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Sobre la cantidad de números primos menores que una magnitud dada), en donde definió su función zeta y demostró sus propiedades básicas. El problema debe su nombre a la ciudad de residencia de Euler (Basilea), ciudad donde vivía también la familia Bernoulli, que trató el problema sin éxito.

El problema de Basilea consiste en encontrar la suma exacta de los inversos de los cuadrados de los enteros positivos, esto es, la suma exacta de la serie infinita:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

Numéricamente, se puede obtener que la serie es aproximadamente igual a 1,644934. Sin embargo, el problema de Basilea busca la suma exacta de la serie, de forma cerrada, así como una demostración de que dicha suma es correcta. Euler encontró que la suma exacta era π²/6 y anunció su descubrimiento en 1735. Sus argumentos estaban basados en manipulaciones que no estaban aún justificadas, y no fue hasta 1741 cuando pudo dar una demostración verdaderamente rigurosa.

Aunque es poco conocido, esta suma puede escribirse, en forma de integral, como función de dos variables. A menudo, se coloca como ejercicio para estudiantes de matemáticas:

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{1 \over \ 1-x^{2}y^{2}}\,dy\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

Otra forma de expresar esta serie es mediante la integral de una sola variable:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\ln(x) \over \ x-1}\,dx=\int _{0}^{1}{\ln(1-x) \over \ x}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$